动态规划（dynamic programming, dp）是计算机科学中解决优化问题的一种方法，它通过将问题分解为更小的子问题，然后递归地解决这些子问题来避免重复计算。这种方法特别适用于那些可以通过分治策略来解决的问题。
解题策略概览
1. 定义问题和状态
首先，需要明确问题的输入和输出，以及问题的状态。例如，如果问题是寻找最长递增子序列的长度，那么状态可能包括数组中的每个元素及其前一个元素的比较结果。
2. 初始化状态
初始化状态数组或列表，通常称为“dp”数组或列表，用于存储从初始状态到每个可能的中间状态的值。
3. 填充状态
根据问题的特性，逐步填充状态数组。对于每个状态，检查其是否满足某个条件（如是否为递增序列的一部分），并根据该条件更新状态。
4. 回溯与优化
当状态被填充后，可以使用回溯算法从最后一个状态开始，尝试所有可能的子问题解决方案，并选择最优解。这通常涉及剪枝和优化过程，以减少不必要的计算。
5. 终止条件
确定何时停止计算。这通常是当没有更多的状态可以探索时。在这个问题中，这可能意味着已经找到了所需的答案，或者所有的中间状态都已经被处理过。
6. 输出结果
一旦计算出了最终的状态，就可以使用这个状态来构建问题的解答。这可能涉及到将状态转换为所需的格式（如最大值、最小值等）。
示例：求解最长递增子序列的长度
假设我们有一个整数数组 `nums`，我们要找到其中最长的递增子序列的长度。我们可以使用动态规划来解决这个问题。
1. 问题定义
- 输入：整数数组 `nums` 和目标长度 `target`
- 输出：最长递增子序列的长度
2. 初始化状态
- `dp[i]`：表示以 `nums[i]` 结尾的最长递增子序列的长度。
- `dp[0] = 1`：空数组的最长递增子序列长度为1，因为只有空数组本身是递增的。
3. 填充状态
遍历数组，对于每个元素，检查它之前的所有元素，看它们是否构成递增序列。如果是，则更新 `dp[i]`；如果不是，则继续检查下一个元素。
4. 回溯与优化
- 当遇到非递增序列时，跳过当前元素。
- 如果 `dp[i]` 仍然为1，则说明没有递增序列。在这种情况下，`dp[i]` 应该保持为1，因为我们无法通过增加当前元素来扩展任何现有的递增序列。
5. 终止条件
- 当 `dp[n-1]` 不再为1时，这意味着我们已经处理完所有可能的子问题解决方案，可以返回 `dp[n-1]`。
6. 输出结果
- 最长递增子序列的长度为 `max(dp) - 1`。
结论
通过上述步骤，我们可以高效地解决20-40字长度的问题，避免了重复计算，并利用了分治策略的优势。这种策略不仅适用于简单的数学问题，也适用于更复杂的实际问题，如搜索、排序、图论等。
