向量合成与分解是线性代数中的基本概念，涉及向量的加法、减法和数乘。在处理两个向量时，我们通常使用点积（内积）来表示它们的关系；而对于三个或更多向量，我们需要引入更多的概念来描述它们之间的关系。以下分别介绍这两个方面的计算方法。
2个向量的计算方法
1. 向量的点积
对于两个向量$vec{a} = (a_1, a_2)$和$vec{b} = (b_1, b_2)$，它们的点积定义为：
$$ vec{a} cdot vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 $$
这个结果是一个标量，表示$vec{a}$和$vec{b}$的夹角余弦值。如果$|vec{a}| = ||vec{b}|$，则称这两个向量平行或相等。
2. 向量的模长
向量的模长（或长度）定义为：
$$ ||vec{a}|| = sqrt{a_1^2 + a_2^2} $$
对于任意两个非零向量$vec{a}$和$vec{b}$，它们的模长之和为：
$$ ||vec{a} + vec{b}|| = ||vec{a}|| + ||vec{b}|| $$
3. 向量的叉积
对于两个垂直的向量$vec{a} = (a_1, a_2)$和$vec{b} = (b_1, b_2)$，它们的叉积定义为：
- $$ vec{a} times vec{b} = (a_2b_1
- a_1b_2)hat{i} - (a_1b_2 - a_2b_1)hat{j} + (a_1b_1 - a_1b_2)hat{k} $$
其中$hat{i}$, $hat{j}$, $hat{k}$分别是x-轴、y-轴和z-轴的单位向量。
3个向量的计算方法
1. 向量的外积
对于三个非零向量$vec{a} = (a_1, a_2)$、$vec{b} = (b_1, b_2)$和$vec{c} = (c_1, c_2)$，它们的外积定义为：
- $$ vec{a} times vec{b} times vec{c} = a_2b_1c_1 + a_1b_2c_2 + a_1c_2b_1
- a_1c_1b_2 - a_2c_1b_1 + a_2c_1b_2 - a_2c_2b_1 $$
2. 向量的混合积
对于三个向量$vec{a} = (a_1, a_2)$、$vec{b} = (b_1, b_2)$和$vec{c} = (c_1, c_2)$，它们的混合积定义为：
- $$ vec{a} times (vec{b} times vec{c}) = (a_2b_1c_1 + a_1b_2c_2 + a_1c_2b_1
- a_1c_1b_2 - a_2c_1b_1 + a_2c_1b_2 - a_2c_2b_1) $$
3. 向量的叉积的逆运算
对于任意三个向量$vec{a} = (a_1, a_2)$、$vec{b} = (b_1, b_2)$和$vec{c} = (c_1, c_2)$，它们的叉积$vec{a} times vec{b}$的逆运算是：
$$ vec{a} times vec{b} = frac{vec{a} times (vec{b} times vec{c})}{vec{c}} $$
这些计算方法在解决实际问题时非常有用，例如在物理学中的动力学分析、工程中的结构分析等。
