点积（也称为内积或数量积）是向量的一种基本运算，它表示两个向量在各个维度上的乘积之和。对于两个向量 ( mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n) ) 和 ( mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n) )，它们的点积定义为：
[ mathbf{a} times mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n ]
这个公式可以展开为：
[ mathbf{a} times mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n ]
为了计算这个点积，我们需要将每个分量相乘，然后将结果相加。具体步骤如下：
1. 首先，计算第一个分量的乘积：
[ a_1b_1 ]
2. 然后，计算第二个分量的乘积：
[ a_2b_2 ]
3. 接下来，计算第三个分量的乘积：
[ a_3b_3 ]
4. 最后，将所有的乘积相加：
[ sum_{i=1}^{n} a_i b_i ]
这就是两个向量的点积。例如，如果有两个向量 ( mathbf{a} = (1, 2, 3) ) 和 ( mathbf{b} = (4, 5, 6) )，那么它们的点积就是：
[ mathbf{a} times mathbf{b} = 1 times 4 + 2 times 5 + 3 times 6 ]
[ mathbf{a} times mathbf{b} = 4 + 10 + 18 ]
[ mathbf{a} times mathbf{b} = 32 ]
因此，两个向量的点积是 32。
