向量加法是线性代数中的基本概念，它描述了两个向量的和。在数学中，向量通常表示为有序对，其中第一个元素代表向量的方向，第二个元素代表向量的大小。
假设我们有两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，那么它们的和 $vec{a} + vec{b}$ 可以表示为：
$$vec{a} + vec{b} = (a_1, b_1) + (a_2, b_2) = (a_1 + a_2, b_1 + b_2)$$
这个公式表明，向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的和是一个新向量，其坐标由两部分组成：第一部分是 $vec{a}$ 的坐标加上 $vec{b}$ 的坐标，第二部分是 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的大小之和。
这个公式可以用以下步骤来证明：
1. 首先，我们知道向量的加法满足分配律，即对于任意两个向量 $vec{c}$ 和 $vec{d}$，有：
$$(vec{c} + vec{d}) = vec{c} + (vec{d} + vec{c})$$
2. 应用这个性质到我们的向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，我们得到：
$$(vec{a} + vec{b}) = vec{a} + (vec{b} + vec{a})$$
3. 由于 $vec{a} + vec{b}$ 是 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的和，而 $vec{b} + vec{a}$ 是 $vec{b}$ 和 $vec{a}$ 的和，所以：
$$(vec{a} + vec{b}) = vec{a} + (vec{b} + vec{a})$$
4. 将等式两边的 $vec{a}$ 移到一边，$vec{b}$ 移到另一边，我们得到：
$$vec{a} + vec{b} = vec{a} + (vec{b} + vec{a})$$
5. 通过观察，我们可以看到左边的向量是右边的向量减去右边的向量，因此：
- $$vec{a} + vec{b} = vec{a}
- vec{b}$$ 6. 这就是我们需要的结果，因为 $vec{a}
- vec{b}$ 就是 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的差，也就是它们的和。 所以，向量加法公式 $vec{a} + vec{b} = vec{b}
- vec{a}$ 是正确的。
