向量 $vec{OA}$ 和向量 $vec{OB}$ 的乘积为零的条件，可以表述为：
$$vec{OA} cdot vec{OB} = 0.$$
这个条件表明向量 $vec{OA}$ 与向量 $vec{OB}$ 的点积为0。点积是两个向量的夹角余弦值的平方，即：
$$vec{OA} cdot vec{OB} = |vec{OA}| |vec{OB}| cos theta,$$
其中 $theta$ 是向量 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 之间的夹角。
要使 $vec{OA} cdot vec{OB} = 0$，需要满足以下条件：
1. 零向量：如果 $vec{OA}$ 或 $vec{OB}$ 为零向量，那么它们的点积也将为零。零向量的方向是任意方向，所以任何方向的零向量与任何其他向量的点积都将是0。
2. 平行向量：如果 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 是平行向量（即它们的方向相同），那么它们的点积将为零。因为平行向量的模相等，且方向相同，所以它们的点积为0。
3. 垂直向量：如果 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 是垂直向量（即它们的方向成90度），那么它们的点积也将为零。因为垂直向量的模相等，且方向相反，所以它们的点积为0。
4. 非零向量：对于非零向量 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$，它们之间的点积为0的条件是它们的方向必须相同或者它们之间的角度必须为90度。这意味着，如果 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 不平行也不垂直，那么它们的点积为零。
总结起来，向量 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 的乘积为零的条件包括：
- 零向量（$vec{OA} = vec{OB}$）
- 平行向量（$vec{OA} = vec{OB}$ 或 $vec{OB} = vec{OA}$）
- 垂直向量（$vec{OA} perp vec{OB}$）
这些条件涵盖了所有可能的情况，使得向量 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 的乘积为零。
