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两平面镜夹角为\(a\)时,如何描述它们之间的相对位置?

当两平面镜夹角为(a)时,描述它们之间的相对位置需要考虑到它们的法线向量和夹角。...
2025-05-06 17:20110

当两平面镜夹角为(a)时,描述它们之间的相对位置需要考虑到它们的法线向量和夹角。

首先,假设两个平面镜的法线向量分别为(n_1)和(n_2),并且它们之间的角度为(a)。那么,这两个法线向量可以表示为:

[ n_1 = (0, 0, 1), quad n_2 = (0, 0, -1) ]

由于法线向量是垂直于平面的,所以它们的叉积为零:

[ n_1 times n_2 = (0, 0, 1) times (0, 0, -1) = 0 ]

两平面镜夹角为(a)时,如何描述它们之间的相对位置?

这意味着两个法线向量相互平行,且夹角为(90^circ)。因此,两个平面镜在空间中的位置关系是正交的,即它们不会重叠也不会平行。

接下来,我们需要考虑两个平面镜的法线向量之间的夹角。由于两个法线向量都是单位向量,它们的夹角可以通过它们的点积来度量:

[ cos(theta) = frac{n_1 cdot n_2}{|n_1||n_2|} = frac{0 + 0 + 1}{sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} cdot sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} ]

这个值接近于1,表明两个法线向量几乎平行。然而,由于它们之间的夹角为(90^circ),我们可以得出结论:两个平面镜在空间中的位置关系是正交的,它们不会重叠也不会平行。

综上所述,当两平面镜夹角为(a)时,它们之间的相对位置是正交的,即它们不会重叠也不会平行。

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