在数学中，点乘（内积）是一种度量两个向量之间夹角的余弦值的方法。对于两个非零向量$vec{a}$和$vec{b}$，它们的点乘定义为：
$$vec{a} cdot vec{b} = |vec{a}| |vec{b}| cos(theta)$$
其中，$|vec{a}|$ 和 $|vec{b}|$ 分别是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的范数（长度），$theta$ 是向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 之间的夹角。
如果要求 $vec{a} cdot vec{b} = -1$，即两个向量的点乘结果为负一，这意味着这两个向量垂直（或者相反）。
步骤一：理解向量垂直的条件
当两个向量垂直时，它们之间的角度为90度。根据向量的点乘公式，当两个向量垂直时，它们的点乘结果等于0。这是因为在直角坐标系中，如果两个向量垂直，那么它们的模长相等，且夹角为90度。在这种情况下，一个向量的方向与另一个向量的正方向完全相反，因此它们的点乘结果为0。
步骤二：分析点乘结果为负一的情况
如果两个向量的点乘结果为负一，这表示它们之间的夹角小于90度。在极坐标系中，这种情况可以通过以下方式解释：
考虑两个单位向量 $vec{e}_x$ 和 $vec{e}_y$（分别指向x轴和y轴），它们之间的夹角为θ。根据点乘的定义，我们有：
$$vec{e}_x cdot vec{e}_y = |vec{e}_x| |vec{e}_y| cos(theta)$$
由于 $cos(theta) < 1$，所以：
$$vec{e}_x cdot vec{e}_y < |vec{e}_x| |vec{e}_y|$$
步骤三：应用勾股定理
在二维平面上，如果两个向量的点乘结果为负一，这意味着这两个向量的模长相等。根据勾股定理，如果两个向量的点乘结果为负一，那么它们构成的三角形是一个等腰三角形，其中底边的长度等于两个向量的模长的平方之差的一半。
结论
综上所述，如果两个非零向量的点乘结果为负一，那么这两个向量相互垂直。这是通过分析点乘的结果和向量之间的几何关系得出的结论。
