向量相等是指两个向量的模长（长度）和方向相同。在数学中，我们可以使用三角不等式来证明这个性质。
设向量$vec{a}$和$vec{b}$是两个非零向量，它们的长度分别为$|vec{a}|$和$|vec{b}|$，且$vec{a}$和$vec{b}$的方向相同。那么根据三角形不等式，有：
$vec{a}cdotvec{b} geq 0$
这是因为当$vec{a}$和$vec{b}$同向时，它们的点积（内积）是非负的；当$vec{a}$和$vec{b}$反向时，它们的点积是负的。因此，对于任何非零向量，其与自身的点积都是非负的，即：
$|vec{a}|^2 + |vec{b}|^2 geq 0$
由于$|vec{a}|^2 + |vec{b}|^2$总是大于等于0，所以向量$vec{a}$和$vec{b}$的长度之和也一定大于等于0。这就证明了向量$vec{a}$和$vec{b}$的长度之和（或称为模长之和）是恒正的，即：
$|vec{a}| + |vec{b}| geq 0$
现在，我们考虑向量$vec{a}$和$vec{b}$的点积。如果这两个向量相等，即$vec{a} = vec{b}$，那么根据向量的性质，我们有：
$vec{a}cdotvec{b} = |vec{a}||vec{b}|costheta = |vec{b}||vec{a}|costheta$
其中$theta$是$vec{a}$和$vec{b}$之间的夹角。由于这两个向量相等，它们的模长相等，即$|vec{a}| = |vec{b}|$。因此，我们可以将上述等式中的$|vec{a}|$替换为$|vec{b}|$，得到：
$vec{a}cdotvec{b} = |vec{b}||vec{a}|costheta = |vec{b}|^{2}costheta$
由于$costheta$是一个非负值，这意味着$vec{a}cdotvec{b}$的值也一定是非负的，即：
$vec{a}cdotvec{b} geq 0$
这就证明了向量$vec{a}$和$vec{b}$的点积也是恒正的，即：
$vec{a}cdotvec{b} = |vec{b}||vec{a}|costheta geq 0$
综上所述，向量$vec{a}$和$vec{b}$相等的条件是：它们的模长之和（或称为模长之和）是恒正的，且它们的点积也是恒正的。这就是向量相等的数学原理。
