时间复杂度和空间复杂度是衡量算法效率的两个重要指标，它们描述了算法执行过程中的时间消耗和内存使用情况。
时间复杂度
时间复杂度通常用大O符号表示法来描述，记为 O(f(n))，其中 f(n) 是关于输入规模 n 的函数，n 可以是任何正实数。
1. 线性复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，有 f(n) <= C * n + g(n)，则该算法的时间复杂度为 O(g(n))。
- 例子：计算斐波那契数列的前 n 项时，假设 f(n) = 2^n - 1，g(n) = n，则算法的时间复杂度为 O(2^n)。
2. 多项式复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，有 f(n) <= C * n^k + g(n)，则该算法的时间复杂度为 O(n^k)。
- 例子：计算阶乘数时，假设 f(n) = n!，g(n) = n^2，则算法的时间复杂度为 O(n^2)。
3. 对数复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，有 f(n) <= C * log(n)，则该算法的时间复杂度为 O(log(n))。
- 例子：计算二进制表示位数时，假设 f(n) = log2(n)，则算法的时间复杂度为 O(log2(n))。
4. 阶乘复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，有 f(n) <= C * n!，则该算法的时间复杂度为 O(n!)。
- 例子：计算阶乘数时，假设 f(n) = n!，则算法的时间复杂度为 O(n!)。
5. 二次复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，有 f(n) <= C * n^2，则该算法的时间复杂度为 O(n^2)。
- 例子：计算平方数时，假设 f(n) = n^2，则算法的时间复杂度为 O(n^2)。
6. 三次及以上复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，有 f(n) <= C * n^3 + g(n)，则该算法的时间复杂度为 O(n^3)。
- 例子：计算立方数时，假设 f(n) = n^3，g(n) = n^2，则算法的时间复杂度为 O(n^3)。
空间复杂度
空间复杂度通常用大O符号表示法来描述，记为 O(f(n))，其中 f(n) 是关于输入规模 n 的函数。
1. 常数空间复杂度
- 定义：如果存在常数 C，对于所有 n ≥ n0，空间复杂度为 O(C)。
- 例子：计算斐波那契数列时，假设需要存储一个长度为 n 的数组，则空间复杂度为 O(n)。
2. 线性空间复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，空间复杂度为 O(C * n)。
- 例子：计算阶乘数时，假设需要存储一个长度为 n 的数组，则空间复杂度为 O(n)。
3. 多项式空间复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，空间复杂度为 O(C * n^k)。
- 例子：计算二进制表示位数时，假设需要存储一个长度为 n 的数组，则空间复杂度为 O(n^2)。
4. 对数空间复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，空间复杂度为 O(log(n))。
- 例子：计算二进制表示位数时，假设需要存储一个长度为 n 的数组，则空间复杂度为 O(log2(n))。
5. 阶乘空间复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，空间复杂度为 O(C * n!).
- 例子：计算阶乘数时，假设需要存储一个长度为 n 的数组，则空间复杂度为 O(n!)。
6. 二次及以上空间复杂度
- 定义：如果存在常数 C 和 n0 > 0，对于所有 n ≥ n0，空间复杂度为 O(n^2)。
- 例子：计算平方数时，假设需要存储一个长度为 n 的数组，则空间复杂度为 O(n^2)。
在实际应用中，算法的时间复杂度和空间复杂度可能会因具体实现细节的不同而有所差异。因此，在评估算法的效率时，除了关注其时间复杂度和空间复杂度外，还需要考虑其他因素，如算法的执行速度、资源消耗、可扩展性等。
