向量加法运算是线性代数中的基本概念，它描述了两个或多个向量的和。在数学上，向量可以表示为一个有序对，其中第一个元素称为向量的“分量”，第二个元素称为“标量”。
假设我们有两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，它们分别具有相同的维度（即它们都有 $n$ 个分量），那么它们的和 $vec{a} + vec{b}$ 可以通过将每个分量相加来得到：
$$vec{a} + vec{b} = (a_1, a_2, ldots, a_n) + (b_1, b_2, ldots, b_n)$$
根据向量加法的定义，这个结果向量的分量将是原向量分量的和：
$$vec{c} = (c_1, c_2, ldots, c_n) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, ldots, a_n + b_n)$$
这里，$c_i$ 是新向量 $vec{c}$ 的第 $i$ 个分量。
如果向量 $vec{a}$、$vec{b}$ 和 $vec{c}$ 都是非零向量，并且它们之间没有公共分量，那么 $vec{a} + vec{b} + vec{c} = 0$ 就意味着这三个向量的分量之和为零。这通常意味着这三个向量是共线的，也就是说它们的方向相同或者相反。
例如，考虑向量 $vec{a} = (3, 4)$、$vec{b} = (1, 2)$ 和 $vec{c} = (2, 6)$。计算它们的和：
$$vec{a} + vec{b} + vec{c} = (3 + 1 + 2, 4 + 2 + 6) = (6, 12)$$
由于 $6 + 12 = 18 neq 0$，所以 $vec{a} + vec{b} + vec{c}$ 不等于零。但是，如果我们考虑向量 $vec{d} = (-3, -4)$，则：
- $$vec{a} + vec{b} + vec{c} = (3
- 3, 4 - 4) = (0, 0)$$
这意味着 $vec{a} + vec{b} + vec{c}$ 等于零向量，因此这三个向量是共线的。
总结来说，向量加法运算 $vec{a} + vec{b} + vec{c}$ 的结果是一个新向量，其分量是原三个向量分量的和。如果这个和为零，那么原三个向量是共线的。
