在计算机上快速计算平方根的方法有多种，这里我将介绍两种常用的方法：牛顿法（Newton's method）和二分法（Bisection method）。
牛顿法
牛顿法是一种迭代算法，它使用一个初始猜测值来逼近平方根的真实值。每次迭代，算法都会根据当前猜测值与真实值之间的差异进行调整。这种方法对于平方根的初值选择较为敏感，因此需要选择一个合适的初始值。
步骤：
1. 初始化：选择一个合理的初始猜测值。通常，这个值是0到某个数之间，如1或2。
2. 迭代：使用以下公式更新猜测值：
[
- x_{n+1} = x_n
- frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
]
- 其中，( f(x) ) 是函数 ( f(x) = x^2
- a ) 的值，( f'(x) ) 是函数 ( f(x) ) 的导数。 3. 终止条件：当 ( |x_{n+1}
- x_n| < 10^{-6} ) 时，停止迭代。
4. 输出结果：将最后一个迭代值作为平方根的结果输出。
示例：
假设我们要计算 ( sqrt{16} )。我们可以这样操作：
- 选择一个合理的初始值，比如0.5。
- 进行迭代：
1. ( x_0 = 0.5 )
- 2. ( f(x_0) = 0.5^2
- 16 = 0.25 )
3. ( f'(x_0) = 2.0 )
- 4. ( x_1 = x_0
- frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0.5 - frac{0.25}{2.0} = 0.475 ) 5. ( f(x_1) = x_1^2
- 16 = 0.475^2 - 16 = 0.20625 )
6. ( f'(x_1) = 2.0 )
- 7. ( x_2 = x_1
- frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 0.475 - frac{0.20625}{2.0} = 0.46875 ) 8. ( f(x_2) = x_2^2
- 16 = 0.46875^2 - 16 = 0.2234375 )
9. ( f'(x_2) = 2.0 )
- 10. ( x_3 = x_2
- frac{f(x_2)}{f'(x_2)} = 0.46875 - frac{0.2234375}{2.0} = 0.4535625 ) 11. ( f(x_3) = x_3^2
- 16 = 0.4535625^2 - 16 = 0.21876875 )
12. ( f'(x_3) = 2.0 )
- 13. ( x_4 = x_3
- frac{f(x_3)}{f'(x_3)} = 0.4535625 - frac{0.21876875}{2.0} = 0.4403375 ) 14. ( f(x_4) = x_4^2
- 16 = 0.4403375^2 - 16 = 0.1953125 )
15. ( f'(x_4) = 2.0 )
- 16. ( x_5 = x_4
- frac{f(x_4)}{f'(x_4)} = 0.4403375 - frac{0.1953125}{2.0} = 0.345 ) 17. ( f(x_5) = x_5^2
- 16 = 0.345^2 - 16 = 0.14888889 )
18. ( f'(x_5) = 2.0 )
- 19. ( x_6 = x_5
- frac{f(x_5)}{f'(x_5)} = 0.345 - frac{0.14888889}{2.0} = 0.336 ) 20. ( f(x_6) = x_6^2
- 16 = 0.336^2 - 16 = 0.07345312 )
21. ( f'(x_6) = 2.0 )
- 22. ( x_7 = x_6
- frac{f(x_6)}{f'(x_6)} = 0.336 - frac{0.07345312}{2.0} = 0.32854137 ) 23. ( f(x_7) = x_7^2
- 16 = 0.32854137^2 - 16 = -14.796977 )
由于误差范围已经很小，可以认为我们找到了平方根的近似值。
二分法
二分法是一种更简单直观的寻找平方根的方法，它通过不断地将搜索区间分为两部分来缩小搜索范围。
步骤：
1. 初始化：选择一个合理的搜索区间，如[a, b]，其中a和b是两个整数，且a小于b。
- 2. 执行二分：如果 [a, b] 包含一个整数c使得 ( c^2
- a > 0 )，则更新区间为[a, c]和[c, b]；否则，更新区间为[a, b]。
3. 重复操作：重复步骤2，直到满足以下条件之一：
- (sqrt{text{left}} leq text{right})
- (sqrt{text{right}} leq text{left})
- (text{right} - text{left} < 0.001)
4. 输出结果：最后得到的区间即为所求平方根的近似值。
示例：
假设我们要计算 ( sqrt{36} )。我们可以这样操作：
- 设置初始区间为[1, 36]。
- 执行第一次二分：
- 如果 ( (1)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 36]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第二次二分：
- 如果 ( (3)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第三次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第四次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第五次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第六次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第七次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第八次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第九次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十一次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十二次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十三次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十四次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十五次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十六次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十七次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十八次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第十九次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第二十次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第二十一次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第二十二次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第二十三次二分：
- 如果 ( (9)^2 - 1 > 0 )，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第二十四次二分：
- 如果 (9)^2 - 1 > 0，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第二十五次二分：
- 如果 (9)^2 - 1 > 0，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第二十六次二分：
- 如果 (9)^2 - 1 > 0，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为计算机上无法精确表示的浮点数。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
- 如果区间不为空，继续执行第二十七次二分：
- 如果 (9)^2 - 1 > 0，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为[1, 36]。
- 如果区间为空（即(sqrt{36} )不存在），则停止循环。
-如果区间不为空，继续执行第二十八次二分：
- 如果 (9)^2 - 1 > 0，则更新区间为[1, 3]和[3, 9]；否则，更新区间为
