二阶系统稳态误差是指当输入信号为零时，系统输出与理想输出之间的最大偏差。计算二阶系统的稳态误差通常涉及以下几个步骤：
1. 定义系统和输入信号
假设我们有一个二阶线性时不变系统，其传递函数为：
[ G(s) = frac{K}{s^2 + 2zeta omega_n s + omega_n^2} ]
其中：
- ( K ) 是开环增益。
- ( zeta ) 是阻尼比，范围在 0 到 1 之间。
- (omega_n) 是自然频率，与阻尼比和开环增益有关。
输入信号 ( u(t) ) 是一个单位阶跃函数，可以表示为：
[ u(t) = delta(t) ]
这里 ( delta(t) ) 是狄拉克δ函数，表示在某个时间点 ( t = 0 ) 的瞬时值。
2. 计算闭环传递函数
由于系统是二阶的，我们可以通过一个一阶系统来近似它，以便于分析。设一个一阶系统的传递函数为：
[ H(s) = frac{omega_n}{s^2 + 2zeta omega_n s + omega_n^2} ]
为了得到一个二阶系统的传递函数，我们可以将两个一阶系统的输出相乘：
[ H(s) = H(s) cdot H(s) = left(frac{omega_n}{s^2 + 2zeta omega_n s + omega_n^2}right) cdot left(frac{omega_n}{s^2 + 2zeta omega_n s + omega_n^2}right) ]
简化后得到：
[ H(s) = frac{omega_n^2}{s^4 + (2zeta omega_n)^2 s^2 + (omega_n)^2} ]
3. 计算稳态响应
对于稳态响应，我们要找到使 ( H(s) ) 等于 1 的 ( s ) 值。这可以通过求解方程：
[ 1 = frac{omega_n^2}{s^4 + (2zeta omega_n)^2 s^2 + (omega_n)^2} ]
解这个方程可以找到 ( s ) 的值，即：
[ s^4 + (2zeta omega_n)^2 s^2 + (omega_n)^2 = frac{omega_n^2}{1} ]
化简后得到：
[ s^4 + (2zeta omega_n)^2 s^2 = 0 ]
这是一个二次方程，我们可以通过求解该方程来找到 ( s ) 的值。如果方程没有实数解，那么系统就是不稳定的。如果有实数解，则对应的 ( s ) 就是系统的自然频率 ( omega_n )，并且对应的振幅就是开环增益 ( K )。
4. 计算稳态误差
最后，我们需要计算稳态误差。稳态误差是指在单位阶跃输入下，系统输出的最大误差。对于单输入单输出（SISO）系统，稳态误差可以通过以下公式计算：
- [ E_{ss} = |K| sqrt{1
- left(frac{zeta}{sqrt{1 - zeta^2}}right)^2} ]
其中：
- ( |K| ) 是开环增益的模。
- (zeta) 是阻尼比。
因此，通过上述步骤，我们可以计算出二阶系统的稳态误差。
